*** Suite implicite

Soit \(n\in\mathbb N^*\) . On considère \(f_n\)  la fonction définie sur \(\mathbb R\)  par \(f_n(x)=x^n+x^{n-1}+...+x-1\) .

1. Déterminer les variations de la fonction \(f_n\)  sur   \([0\ ;+\infty[\) .

2. a. Démontrer que l'équation  \(f_n(x)=0\)  admet une unique solution dans \([0 \ ;+\infty[\) . Cette solution sera notée \(u_n\)  et on aura donc \(f_n\left(u_n\right)=0\) .
    b. Démontrer que, pour tout entier \(n\)  non nul, \(0.
    c. Calculer \(u_1\)  et \(u_2\) .

3. a. Démontrer que, pour tout entier \(n\)  non nul, on a \(f_{n+1}\left(u_{n+1}\right)-f_{n}\left(u_{n+1}\right)=u_{n+1}^{n+1}\) .
    b. En déduire que \(f_{n}\left(u_{n+1}\right)\leqslant f_{n}\left(u_{n}\right)\)  puis que la suite \(\left(u_{n}\right)\)  est décroissante.

4. Démontrer que, pour tout réel \(a\ne1\) , on a \(f_n(a)=\dfrac{2a-a^{n+1}-1}{1-a}\) .

5. a. Démontrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\)  est convergente vers un réel \(\ell\in\left[\dfrac12;1\right]\) .
     b. Démontrer que si \(\dfrac12, alors \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}f_n(a)>0\) . Que peut-on en déduire pour \(\ell\)  ?